The Verdsettelse Of Utøvende Lager Alternativer I En Intensitet Baserte Rammeverk

Verdsettelsen av aksjeopsjoner i en intensitetsbasert rammeoppskrift 1 Europeisk finansiell gjennomgang 4. Kluwer Academic Publishers. Trykt i Nederland. 211 Verdsettelsen av aksjeopsjoner i en intensitetsbasert rammeverk PETER CARR 1 og VADIM LINETSKY 2 1 Banc of America Securities, Equity Financial Products, 9 West 57th Street, 4. etasje, New York, NY Institutt for industri - og ledelsesvitenskap, McCormick School of Engineering og Applied Sciences, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Abstract. Dette papiret presenterer et generelt intensitetsbasert rammeverk for verdsettelse av aksjeopsjoner (ESOer). Den bygger på de siste fremskrittene i kredittrisiko modelleringsarenaen. Den tidlige trening eller fortabelse på grunn av frivillig eller ufrivillig ansettelsesavslutning og tidlig utøvelse på grunn av lederens ønske om likviditet eller diversifisering, modelleres som en eksogen punktprosess med tilfeldig intensitet, avhengig av aksjekursen. To analytisk trekkbare spesifikasjoner er gitt hvor ESO-verdien, forventet treningstid eller fortabelse og forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse beregnes i lukket form. Nøkkelord: Browns område, tidlig trening, Executive aksjeopsjoner, Feynman-Kac formel, fortabelse, Laplace transformasjon, yrkestidspunkt, punktprosesser med tilfeldig intensitet. JEL-klassifisering: G13, G39, M Innledning Executive aksjeopsjoner (ESOer) utgjør for tiden en betydelig andel av mange firmaer total kompensasjonskostnad. Det er viktig å nøye vurdere kostnaden for disse opsjonene til aksjonærene både for regnskapsmessige formål og fra et ledelsesmessig kontrollperspektiv (se Carpenter, 1998 Foster et al., 1991 Jennergren og Naslund, 1993). Siden 1995 har Financial Accounting Standards Board (FASB) SFAS 123 pålagt at et estimat av kostnaden for ESO-tilskudd blir offentliggjort i en fotnote. Selv om det ikke er nødvendig, er den anbefalte verdsettelsesmetoden å bruke Black Scholes European Call pricing formel. Den foreslåtte modenheten som brukes i denne formelen er forventet levetid, selv om maksimal levetid (typisk 1 år ved tildeling) også kan brukes. Rubinstein (1995) argumenterer på teoretisk grunnlag om at en hvilken som helst metode vil ha en tendens til å forårsake overvaluering. Tilsvarende, Marquardt (1999) empir - Vi er takknemlige for beregningsassistanse fra Dmitry Davydov og for kommentarer fra Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe og Carol Marqurdt. De er ikke ansvarlige for eventuelle feil. 2 212 PETER CARR OG VADIM LINETSKY fastslår at begge metodene overvurderer den økonomiske kostnaden for aksjonærer som utsteder ESOer. ESOer er vanligvis langt daterte amerikanske samtaler som avviger fra standardalternativer ved at de har en innledende opptjeningsperiode under hvilken øvelse er forbudt. Selv om det er greit å numerisk bestemme verdien og den optimale treningspolitikken for ESOer i et friksjonsfritt marked, vil visse institusjonelle friksjoner komplisere beslutningen om den optimale treningspolitikken for ESOer. For det første kan innehaveren av en ESO ikke selge eller overføre alternativet. Videre kan innehaveren ikke hekke på samtalen, da korte stillinger i selskapets lager er forbudt. I motsetning til dette er utstederen lov til å overføre sine forpliktelser eller hevde sin forpliktelse. Generelt driver denne asymmetrien en kil mellom verdien til mottakeren og verdien til utstederen. Begge verdiene påvirkes av utøvelsespolitikken som brukes av ledende ansatte, som generelt sett bestemmes både av allment tilgjengelig informasjon som aksjekurser og av executive-spesifikk informasjon som personlig porteføljesammensetning, risikoaversjon og ledelsens etterspørsel etter likviditet. Den optimale treningspolitikken som er ansatt av lederen, trenger ikke å matche den optimale treningspolitikken som gjelder i fravær av disse friksjonene, siden tidlig trening kan være optimal for diversifikasjon eller likviditetsårsaker, selv om den underliggende aksjen ikke betaler noen utbytte. En annen grunn til at konsernsjefens beste treningspolitikk kan avvike fra den perfekte markedspolitikken er at ledelsen kan forlate firmaet enten frivillig eller ufrivillig mens opsjonen er i live. I dette tilfellet forvirrer utøvelsen sine opsjoner dersom de er ute av pengene, og må trenge tidlig hvis de er i pengene. To generelle tilnærminger har blitt vedtatt for å modellere utøvende utøvelsesbeslutninger og verdsette kostnaden for ESOer til firmaet. I den første tilnærmingen antar man at utøvelsen utøver opsjonen i henhold til en policy som maksimerer sitt forventede verktøy underlagt sikringsbegrensninger (Huddart, 1994 Marcus og Kulatilaka, 1994 Detemple og Sundaresan, 1998). I denne tilnærmingen må man eksplisitt modellere slike unobservable variabler som risikovilligheten til utøvende, hans ytre rikdom og den potensielle gevinsten ved å endre ansettelsen. I den alternative tilnærming er en modell tidlig trening som en eksogen stopptid, f. eks. Den første hoppetiden til noen eksogen Poisson-prosess, som i Jennergren og Naslund (1993). Poisson-prosessen fungerer som en fullmektig for alt som gjør at lederen utøver muligheten tidlig, inkludert ønsket om diversifisering eller likviditet, og frivillig eller ufrivillig ansettelsesavslutning. I motsetning til bruksmaksimeringstilgangen er farefrekvensen eller intensiteten til denne eksogene Poisson-prosessen den eneste parameteren i modellen som må estimeres fra empiriske data. I et interessant nylig papir viser Carpenter (1998) at denne reduserte formintensitetsbaserte modellen utfører så godt eller bedre enn den mer kompliserte strukturelle modellen i empiriske tester av de to konkurrerende ESO-verdsettelsesmodellene ved å forutsi faktiske treningsmønstre for en prøve av 4 firmaer. Denne dikotomien i modellering av utøvelsesbeslutningen er parallelt med modelleringen av standardhendelser som kreves ved verdsettelsen av kredittrisikovirksomheten. De 3 OPPDRAGSMULIGHETER I EN INTENSITETBASERET RAMME 213 Litteratur om kredittrisiko for kredittrisiko kan deles inn i to klasser: strukturelle modeller og redusert formintensitetsbaserte modeller. Den første klassen av modeller, som dateres tilbake til Black and Scholes (1973) og Merton (1974), modellerer standardhendelsen strukturelt som en bruksmaksimaliseringsbeslutning av aksjeeierne (se Leland (1994) og Leland og Toft (1996)). Den andre klassen av modeller er formularer med redusert form som eksogent angir standard som forekommer ved første hoppetid for en punktprosess med tilfeldig intensitet (standard farefrekvens) (se Duffie et al. 1996 Duffie and Singleton, 1998 Jarrow and Turnbull, 1995 Jarrow et al., 1996 Lando, 1998 Madan og Unal, 1996, 1998). Davydov et al. (1998) verdsetter kredittrisiko i intensitetsbasert rammeverk, noe som gir en tilnærming som vår. I alle slike modeller blir intensiteten av punktprosessen kalibrert til empiriske data. På grunn av den relative enkelheten til kalibrering og empirisk testing, oppnår den reduserte formmodelleringsfilosofien betydelig popularitet i kredittmarkedene. Bidraget til dette papiret er to ganger. For det første utvikler vi et generelt stokastisk intensitetsbasert rammeverk for verdsettelse av ESOer der tidlig trening eller fortabelse intensitet h t h (t, t) avhenger av underliggende aksjekurs og tid. For det andre foreslår vi to enkle, analytisk trekkbare spesifikasjoner av risikobaserte modeller av ESOer. I det første eksemplet er intensiteten spesifisert som følger (forutsatt at ESO er knyttet): ht lambda f lambda e 1, (1) hvor S t er den underliggende aksjekursen, K er ESO s kurspris, lambda f er konstant intensitet av tidlig trening eller fortabelse på grunn av eksogen frivillig eller ufrivillig ansettelsesavslutning (antatt uavhengig av aksjekursen), og lambda e 1 er den konstante intensiteten av den tidlige øvelsen på grunn av eksekutivens eksogene ønske om likviditet eller diversifisering antas positiv og konstant hvis ESO er penger og null ellers (1 A er indikatorfunksjonen til hendelsen A e i lambda e står for trening). Dermed er intensiteten av fortabelse når aksjen er ute av pengene, lambda f (f står for fortabelse), mens den totale intensiteten av tidlig trening når opsjonen er i penger, er lambda f lambda e. Den integrerte risikoen avhenger lineært av okkupasjonstidspunktet for den underliggende aksjen over streiken K (dvs. når ESO er in-the-money), og den tilsvarende ESO-verdsettelsesmodellen trekker på noen nylige resultater på yrkestidderivater (se Akahori, 1995 Chesney et al. 1997 Dassios, 1995 Davydov og Linetsky, 1998 Embrechts et al. 1995 Hugonnier, 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). I det andre analytisk trekkbare eksemplet er intensiteten spesifisert som følger (forutsatt at ESO er fastlagt): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR OG VADIM LINETSKY I dette tilfellet er første terminer på grunn av oppsigelsen fortsatt uavhengig av aksjekursen 1, men andre periode på grunn av ønske om likviditet eller diversifisering er nå en monotonisk økende funksjon av den underliggende aksjekurs hvis ESO er in-the-money og null ellers (x: x1 betegner den positive delen av x). Den integrerte risikoen avhenger lineært av det såkalte Brownian-området, og tilsvarende ESO-verdsettelsesmodell bygger på resultatene fra Davydov, Linetsky og Lotz (1998) om områdemuligheter. Resten av dette papiret er organisert som følger. I avsnitt 2 vurderer vi et generelt stokastisk intensitetsbasert rammeverk for verdsettelse av ESOer. I avsnitt 3 løser vi modellen med intensitetsspesifikasjonen gitt i (1). I avsnitt 4 løser vi modellen med intensitetsspesifikasjonen (2). Numeriske eksempler er gitt i seksjon 5. Seksjon 6 avslutter papiret. 2. En generell intensitetsbasert formulering Vi antar friksjonsløse markeder, ingen utbytte, en konstant risikofri rente r, og at den underliggende aksjekursen følger følgende diffusjonsprosess under risikosnøkkel sannsynlighetsmåling Q: ds ts t dt sigma (st, t ) SS, hvor SS, hvor Wt Q er en standard brunisk bevegelse, starter prosessen ved SS ved tid t, og den lokale volatilitetsfunksjonen sigma (s, t) antas kontinuerlig og strengt positiv for alle S ,) og begrenset som S (for alle t). Tidspunktet for tidlig trening eller fortabelse T kan betraktes som den første hoppetiden til en punktprosess med tilfeldig intensitet (fare) h t, som vanligvis er en funksjon av tid og underliggende aksjekurs, h t h (s t, t). Deretter er sannsynligheten for Q ingen tidlig trening opp til tid t for en gitt aksjekursbane (se Bremaud (198) og Lando (1998) for detaljer om punktprosesser med tilfeldig intensitet): og Q (T gtt) et , u) du, (3) Q (T gtt) EQ, S et (su, u) du, hvor forventningen er med hensyn til den risikobrevne måleen Q. La t være ESO-tilskuddsdagen og tv, T være ESOs opptjeningsdato, verdien til t, T for en uutnyttet ESO med strykekurs K og forfall T er gitt av den risikos nøytrale forventningen: 1 Generelt kan man også gjøre fortabelsen intensitet lambda fa funksjon av aksjekursen argumenterer at konsernsjefen er mer sannsynlig å forlate firmaet når aksjekursen er lav i forhold til prisen på sine ESOer. For enkelhet antar vi at lambda f er konstant. 5 EXECUTIVE STOCK OPTIONS I EN INTENSITETBASERET RAMME 215 C (S, T K, T) er (tt) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) hvor T er en stopptid antatt å være den første hoppetiden for punktprosessen med intensitet ht, og abonnementet t, s i forventningsoperatøren Et, s betyr at aksjekursen er S ved tid t. Legg merke til at, etter Jennergren og Naslund (1993), antar vi at hopprisikoen er ikke-priset, dvs. at den kan diversifiseres vekk ved å utstede en diversifisert portefølje av ESOer. Siden mange bedrifter utsteder flere ESOer 2, anser vi dette som en rimelig antagelse i praksis. Første periode på høyre side av ligning (4) er nåverdien av opsjonsutbetalingen ved forfall gitt ikke tidlig utøvelse. Den andre sikt er nåverdien av utbetalingen på tidspunktet for trening, gitt at opsjonen utøves tidlig. Denne nedbrytningen av verdien er analog med en nedbrytning av verdien som oppstår for misligholdte verdipapirer. Første termen i (4) er analog med nåverdien av den lovede betalingen betinget av manglende standard, mens andre termen er nåverdien av gjenopprettingsbetalingen betalt på misligholdstidspunktet dersom mislighold skjer før forfall. På grunn av nøkkelforholdet (3), kan forventningen omskrives på nytt: e C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s maks (tv, t) er (ut) EQ t , sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Ved Feynman-Kac-teorien (se f. eks. Karatzas og Shreve (1992)) er ESO-verdien C (S, t K, T) på tid t, t lt, den unike løsningen på Cauchy-problemet for PDE: 1 2 sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C 2 S rc h (s, t) 1 (SK) CC t underlagt den betingede tilstanden, (5) C (S, TK, T) . (6) Den økonomiske betydningen av den andre siste termin på venstre side av ligning (5) er at over en uendelig tidsperiode dt er det en sannsynlighet for at den utøvende utøver sin mulighet og mottar (S t K ) i bytte dersom ESO er hjemmehørende (t gtt v) og ingenting annet (alternativet er fortapt). I tillegg til ESO-verdien er vi også interessert i den forventede treningstiden (forventet ESO-modenhet): T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 For eksempel undersøker Marquardt (1999) 58 Fortune 1-firmaer over 21 år og finner i gjennomsnitt 17 tilskudd per firma. 6 216 PETER CARR OG VADIM LINETSKY og forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Merk at i motsetning til ESO-verdiberegningen som utføres under den risikos nøytrale måleen Q, beregnes disse mengdene under statistisk mål P hvor: ds t ms t dt sigma (st, t) st dw P t, SS og m er den forventede årlige prosentvise avkastningen på aksjen i den virkelige verden (m antas konstant). Ved å bruke nøkkelforholdet (3) (betraktet under P), er det lett å se at ligningene (7) - (8) reduseres til: og TP (T gtt) TP (TT) t dt P (T gtt) dt teth su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P (su, u) (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart og Lang (1996), og Marquardt (1999) gir alle empiriske forventede treningsperioder og gjennomsnittlige aksjekurser på øvelsestidspunktet for sine prøver. Gitt verdiene til parametrene m, sigma, S, t v og andt, kan man kalibrere øvelsen eller fortabningsintensiteten h t til de empiriske dataene ved hjelp av ligningene (9) og (1). 3. Arbeidstidspesifikasjonen: Et trinnmodellmodell for å verdsette ESOer I dette avsnittet begrenser vi oppsettet som ble diskutert i forrige avsnitt med sikte på å skaffe eksplisitte løsninger for mengder av interesse. Vi antar konstant volatilitet, dvs. sigma (s, t) sigma, og at alternativet er fastlagt, det vil si tv (vi strekker seg til tilfelle av opsjoner som ennå ikke er fastlagt på slutten av denne seksjonen). Vi vurderer også en spesielt enkel spesifikasjon for trening eller fortabelseintensitet: Ht lambda f lambda e 1, (11) hvor S t er den underliggende aksjekursen, K er ESO s-kursen, lambda f er den konstante intensiteten i det tidlige trening eller fortabelse på grunn av den eksogene frivillige eller ufrivillige ansettelsesavtalen (antatt uavhengig av aksjekursen), 7 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 217 og lambda e 1 er den konstante intensiteten av den tidlige øvelsen på grunn av eksekutivs eksogene Ønsket om likviditet eller diversifisering antas å være positiv og konstant dersom ESO er penger og null på annen måte. Under disse forutsetningene forenkler den første (dvs. t) ESO-verdien (4) til 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) f lambda e) e (rlambda f) t EQ, S e lambda etau K (t) (S t K) dt, (12) hvor tau k (t) t du er okkupasjonstiden for pengene regionen opp til tid t. Denne forventningen kan uttrykkes som en portefølje av up-andout geometriske trinnalternativer med utkoblingshastighet lambda e og utkoblingsbarriere som er like som streiken: C (SK, T lambda, lambda e) og lambda f TC lambda e ST, K, K) (lambda f lambda e) e lambda ft C lambda e (S t, k, k) dt, (13) hvor C lambda e (S t, k, k) er verdien av en opp - ut-og-ut-geometrisk trinnsamtale med utropspris K, utløserhastighet lambda e, utkoblingsbarriere nivå K og modenhet t (se Linetsky (1998, 1999)): C lambda e (S t, k, k) e rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) Utbetalingen ved modenhet t av et geometrisk trinnsamtal kan tolkes som det for et standardanrop, bortsett fra at den underliggende andelen er ideell, avhengig av yrkestidspunktet over streiken: e lambdatau K (t) ). Med andre ord mister et geometrisk trinnsamtal en gitt brøkdel av sin notifikasjon per tidsenhet over barrieren. Innfør følgende notasjon: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r sigma 2 Da reduseres forventningen i ligning (14) til: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e t, k, k) e (xilambda e) t nux K lambdae (nå sigma, x, t) lambdae (nå, x, t), (16) 3 Merk at den konstante fortabelse intensiteten lambda f er lagt til diskonteringsrenten i ligning (12). Intuitivt reduserer muligheten for fortabelse verdien av ESO på samme måte som muligheten for mislighold reduserer verdien av et misligholdt obligasjon, og intensiteten av fortabelse legges til den risikofrie rente som kredittspread. 8 218 PETER CARR OG VADIM LINETSKY hvor funksjonen er definert som: rho (nuk, x, t): E, xe nuw t rho (t) 1, (17) hvor forventningen E, x er betinget av den bruniske bevegelsen W t starter ved x på t og (t) t 1 du er okkupasjonstiden for den negative halvlinjen (,) opp til tiden t. 4 Denne forventningen beregnes i lukket form i Linetsky (1999). For leserens bekvemmelighet er den eksplisitte analytiske formen av funksjonen gitt i vedlegg A. Dermed gir ligninger (13) og (16) en enkel analytisk løsning for ESO-verdien under spesifikasjonen (11) for trenings - og fortabningsintensiteten . Forventet tid for trening eller fortabelse (9) i denne spesifikasjonen er: T e (lambda f lambda e nup 2 2) t nu P x lambdae (nå P, x, t) dt, (18) hvor (husk at T og ST beregnes under det statistiske målet P): nu P: 1 sigma (m sigma 2 2). (19) Forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse er: ST e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nå P sigma, x, t) K e (lambda f lambda e Nu 2 P 2) Nå er P x lambda f lambdae (nå P sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P sigma, x, t) dt. (2) Nå vurder saken t v gt, det vil si at alternativet ennå ikke er fastlagt. Anta at S v S (t v) er aksjekursen på opptjeningsdagen. ESO-verdien på inntjeningsdatoen tv er gitt av C (S v K, T tv lambda f, lambda e) definert av ligning (13) (merk at tiden til modenhet nå er lik T tv, så vi må erstatte TT tv i ligning (13)). Deretter beregnes ESO-verdien ved tid t ved å ta forventningene: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p Q (S v, tv S,) dS v, (21) 4 For bakgrunnen på okkupasjonstider og andre funksjonaliteter av bruniske bevegelses - og diffusjonsprosesser, samt Feynman-Kac-type beregninger av deres lover, se Karatzas og Shreve ( 1992), Borodin og Salminen (1996) og Revuz og Yor (1994). 9 OPPSKRIVELSE AV OPPSATSER I EN INTENSITETBASERET RAMME 219 hvor p Q er den (lognormale) sannsynlighetstettheten av aksjekursen på opptjeningsdatoen, gitt den kjente aksjekursen i dag (ved tidspunkt t): (S v, tv S) Mikrofiber, Mikro Sigma 2 Sv 2pisigma2 tv 2sigma 2 tv 2. (22) 4. Det Brownian Area-spesifikasjon: En områdealternativmodell for å verdsette ESO Som i forrige avsnitt antar vi først at alternativet allerede er etablert, det vil si tv. Under arbeidstidspesifikasjonen er treningsintensiteten eller fortabelsesintensiteten konstant over streiken. Et analytisk trekkbart alternativ er: ()) ht lambda f lambda e (ln S t ln K) St lambda f lambda e (ln. (23) K I dette tilfellet er første semester på grunn av frivillig eller ufrivillig ansettelsesavslutning fortsatt uavhengig av aksjekursen, men andre sikt på grunn av lyst til likviditet eller diversifisering er nå en økende funksjon av moneyness S t K hvis ESO er penger og null ellers (x betegner den positive delen av x). En lignende spesifikasjon for standardfarefrekvensen ble brukt av Davydov, Linetsky og Lotz (1998) for å modellere kredittrisiko for selskapsgjeld. Den beregnede ESO-verdien (4) i denne spesifikasjonen har form:) C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (Lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t (e lambda f) t EQ, S exp (lambda e (ln u lnk) du Lambda f lambda e ln (S t K) dt. (24) K For å beregne denne forventningen merker vi først at aksjekursprosessen kan representeres som: S t Ke sigma (nutw t), (25) hvor W t er en brunisk bevegelse som starter ved x (definert i ligning (15)) ved tid t. På grunn av Girsanovs teoremetode: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) nu2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) e T e, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te W w u lambda f sigmalambda e W 10 22 PETER CARR OG VADIM LINETSKY (Ke sigmaw K K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (nå sigma, x , t) Sigmalambdae (nå, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nå sigma, x, t) sigmalambdae (nå sigma, x, t) lambda f sigmalambdae (nå, x, t) sigmalambda e nu sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e dt, (26) nå hvor vi introduserte følgende notasjon: alfa (nu k, x, t): E, xe nuw t alphaa t 1, : t W u du. (28) Den funksjonelle A t kalles Brownian-området til tid t (se Perman og Wellner, 1996). Det er lik det (tilfeldige) området under den positive delen av en brunisk prøvebane fra null til tid t. Forventningen i ligning (27) beregnes av Davydov, Linetsky og Lotz (1998) via Feynman-Kac-teorien: alfa (nu k, x, t) e nuy E, xe alfa t W t dy kke nuy L 1 t dy, (29) der forventningen inne i integralet uttrykkes som den inverse Laplace-transformasjonen i s av resolventkjernen G alpha (x, ys). Dens analytiske form er gitt i vedlegg B. 5 Den forventede tiden for trening eller fortabelse under denne spesifikasjonen er: T e (lambda f nup 2 2) t nå P x sigmalambdae (nå P, x, t) dt, (3) hvor Nu P er gitt i ligning (19). Den forventede aksjekursen på tidspunktet for trening eller fortabelse er: 5 Beregningen av denne funksjonelle er nær i ånden til beregningene av Geman og Yor (1993) for asiatiske alternativer og Geman og Yor (1996) for dobbeltbarriere alternativer og avhengige på Feynman-Kac-formelen. 11 EKSTRA STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 221 ST e (lambda f nup 2 2) Nå P x K sigmalambdae (nå P sigma, x, t) K e (lambda f nup 2 2) nå P x lambda f sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) Saken t v gt, det vil si alternativet er ennå ikke fastlagt, blir behandlet på samme måte som ligning (21). 5. Numeriske eksempler For å illustrere våre modeller, vurder et tiår ESO gitt til-pengene 6 (S K 1) og opprettholde umiddelbart (t v). Vi antar at den underliggende aksjen har en volatilitet på 3 per år, betaler ingen utbytte, den risikofrie renten er 5 per år, og den forventede årlige prosentvise avkastningen på aksjen under statistisk måling P er m 15 per år (husk at forventet tidspunkt for trening eller fortabelse og forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse beregnes under statistisk tiltak). Tabell I og II gir ESO-verdien på tildelingsdatoen, forventet treningstid eller fortabelse, og forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse som funksjonene til parametrene til punktprosessen lambda f og lambda e under yrket tidspesifikasjon (11) og henholdsvis Brownian-områdespesifikasjonen (23). For lambda f lambda e er ESO-verdien lik den tiårige Black-Scholes verdien, forventet treningstid er lik ESO-løpetiden (ti år), og forventet aksjekurs på tidspunktet for trening er lik e 1m S (ingen tidlig trening eller fortabelse). Etter hvert som rentene lambda f og lambda e øker, reduseres ESO-verdien, forventet trening eller fortabelsestid og forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse. Gitt T og S T, kan man kalibrere modellene våre ved å bakke ut intensitetsparametrene lambda f og lambda e og verdsette ESOer med disse parameterverdiene. Carpenter (1998) rapporterer at gjennomsnittlige utøvelsestider for 1 år ESOs i prøven hennes er ca. 5,8 år, med gjennomsnittlig aksjekurs ved utøvelse av om lag 2,8 ganger ESO-kursen. Marquardt (1999), som studerer en annen prøve av ESO-stipendfirmaer, rapporterer at gjennomsnittlige utøvelsestider for 1 år ESOer i prøven er ca 5,6 år, med gjennomsnittlig aksjekurs ved utøvelse av om lag 2,2 ganger ESO-kursen . Dermed er empirisk typiske treningstider i fem til seks år, med aksjekursen ved utøvelse av to til tre ganger ESO-streiken. Tenk på et eksempel på yrkesmodell med lambda f 8 per år og lambda e 12 per år. Forventet treningstid for disse intensitetene er 4,99 år, med forventet aksjekurs ved utøvelse av 2,31 ganger ESO 6 Marquardt (1999) fant at 85 av de 987 ESOene i prøven ble utstedt med ti år til forfall. Hun sier at de fleste er utstedt med streik lik aksjekurs ved tilskudd. 12 222 PETER CARR OG VADIM LINETSKY Tabell I. Yrkes tidsmodell. ESO-verdier, forventede tider med trening eller fortabelse og forventede aksjekurser på tidspunktet for trening eller fortabelse som funksjoner av intensitetsparametrene lambda f og lambda e. Parametre: K 1, S 1, T 1 år, sigma .3, r .5, m. 15, tv, ingen utbytte Lambda e lambda f ESO-verdi Forventet trening eller fortabelsestid (år) Forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse i forhold til streik 13 EKSTRAHOLDSMULIGHETER I EN INTENSITETBASERET RAMME 223 Tabell II. Arealmodell. ESO-verdier, forventede tider med trening eller fortabelse og forventede aksjekurser på tidspunktet for trening eller fortabelse som funksjoner av intensitetsparametrene lambda f og lambda e. Parametre: K 1, S 1, T 1 år, sigma .3, r .5, m. 15, tv, ingen utbytte Lambda e lambda f ESO-verdi Forventet trening eller fortabelsestid (år) Forventet aksjekurs på tidspunktet for trening eller fortabelse i forhold til streik 14 224 PETER CARR OG VADIM LINETSKY streik. ESO-verdien som svarer til disse parametrene, er i motsetning, den FASB-anbefalte verdsettelsesmetoden, å bruke Black Scholes European Call pricing formula. Modenheten som brukes i denne formelen, kan enten være forfallsdato (ti år i dette tilfellet) eller et estimat på forventet levetid (4,99 år i dette tilfellet). Den tilsvarende Black-Scholes-verdien av en tiårig samtale er Den er 56,38 høyere enn verdien forutsatt av vår modell. Black-Scholes-verdien på en 4,99 års samtale er 35,92, 6,87 høyere enn verdien forutsatt av vår modell. Således er ESO-verdiene som beregnes i henhold til intensitetsbasert modell, signifikant lavere enn tilsvarende Black-Scholes-verdier, og regner med den suboptimale oppførsel av den utøvende. Dette har betydelige regnskapsmessige konsekvenser. Hvis man skulle verdsette ESO for regnskapsmessige formål ved hjelp av Black-Scholes-modellen som anbefalt av FASB, ville man betydelig overstige sine sanne kostnader til aksjonærer og urettferdiggjøre selskaper som gir ESOer. 6. Konklusjon og veiledning for fremtidig forskning Bidraget til dette papiret er todelt. For det første utvikler vi et generelt stokastisk intensitetsbasert rammeverk for verdsettelse av aksjeopsjoner. For det andre foreslår vi to analytisk trekkbare spesifikasjoner for treningsintensiteten. Begge spesifikasjonene har skjemaet (forutsatt at ESO er etablert): ht lambda f lambda e phi (st) 1, hvor lambda f er den konstante Poisson-intensiteten til tidlig trening eller fortabelse på grunn av tidlig frivillig eller ufrivillig ansettelsesavslutning, og lambda e phi (st) 1 er den tidlige treningsintensiteten på grunn av lederens ønske om likviditet eller diversifisering. Den sistnevnte intensiteten er bare positiv når alternativet er in-the-money. Under den første spesifikasjonen, phi (s) 1. Dette fører til den analytisk trekkbare okkupasjonstidsmodellen for ESOer, hvor sannsynligheten for tidlig trening på grunn av lederens ønske om likviditet eller diversifisering, avhenger av okkupasjonstidspunktet for in-themoney-regionen . Under den andre spesifikasjonen, leder phi (s) ln S ln K, som fører til den analytisk traktable Brownian-områdemodellen. Begge spesifikasjonene gjenspeiler det faktum at det er to forskjellige økonomiske faktorer som påvirker utøvelsesøvelsen. Dette er ledelsens ønske om likviditet eller diversifisering, som bare fremkaller trening når opsjonen er opptjent og i penger, og muligheten for frivillig eller ufrivillig ansettelsesavslutning (dette er like sannsynlig når alternativet er in - eller ut av - penger og antas å være uavhengig av aksjekursen). Vi argumenterer for at vår spesifikasjon med to separate intensitetsparametere gir en mer fullstendig beskrivelse av den økonomiske situasjonen for hånden enn tidligere arbeid 7 som modellerte tidlig trening og fortabelse som følge av en Poisson-prosess med en enkelt konstant intensitetsparameter uavhengig av aksjekursen. 7 Se Shimko (199) og Jennergen og Naslund (1993) for det spesielle tilfellet av vår modell med lambda e. 15 OPPSKRIVELSER I EN INTENSITETBASERET RAMME 225 Våre resultater kan videre utvides på flere måter. For det første, i praksis tilbakestiller firmaer noen ganger vilkårene for tidligere utstedte ESOer, spesielt når fallende aksjekurser har flyttet opsjonen dypt ute av pengene. I noen interessante nyere arbeider utvikler Brenner, Sundaram og Yermack (1998) en modell for å verdsette ESOer, som står for muligheten for reprisiering. Reprisering innebærer å spesifisere en ny aktiekurs når aksjekursen avtar betydelig. 8 Når opsjonen er gjengitt, er den nye strike-prisen spesifisert (i praksis er den nye streiken ofte satt lik den gjeldende aksjekursen, det vil si at opsjonen er re-written at-the-money). Brenner, Sundaram og Yermack (1998) bemerker at, med unntak av muligheten for tidlig trening eller fortabelse, en ESO hvis strykekurs K vil endres til K første gang aksjekursen faller under en forhåndsdefinert barriere B, kan verdsettes som en portefølje av en ned-og-ut-samtale med strykprisen K (gammel streik) og en ned-og-i-samtale med streiken K (ny streik). Deretter benyttes standard barrierevalgsformler for å verdsette ESO (se for eksempel Rubinstein og Reiner (1991)). Vår tilnærming til modellering tidlig trening og fortabelse kan utvides til ESOs gjenstand for reprise på denne måten ved å legge til en lavere barriere for vår analyse. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s ), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, Borodin, A. N. and Salminen, P. (1996), Handbook of Brownian Motion, Birkhauser, Boston. Bremaud, P. (198), Point Processes and Queues Martingale Dynamics, New York, Springer - Verlag. Brenner, M. Sundaram, R. and Yermack, D. (1998), Altering the terms of executive stock options, forthcoming in Journal of Financial Economics. Carpenter, J. N. (1998), The exercise and valuation of executive stock options, Journal of Financial Economics 48, Chance, D. Kumar, R. and Todd, R. (1999), The Re-pricing of Executive Stock Options, Virginia Polytechnic Institute working paper. Chesney. M. Jeanblanc-Picqueacute, M. and Yor, M. (1997), Brownian excursions and Parisian barrier options, Advances in Applied Probability 29, Dassios A. (1995), The distribution of the quantile of a Brownian motion with drift and the pricing of related path-dependent options, The Annals of Applied Probability 5(2), Davydov, D. and Linetsky, V. (2), Structuring, pricing and hedging double barrier step options, forthcoming in Journal of Computational Finance. Davydov, D. Linetsky, V. and Lotz, C. (1998), The Hazard-rate Approach to Pricing Risky Debt: Two Analytically Tractable Examples, Working paper, Northwestern University. Detemple, J. and Sundaresan, S. (1999), Non-traded asset valuation with portfolio constraints: A binomial approach, Review of Financial Studies 12, Duffie, D. Schroder, M. and Skiadas, C. (1996), Recursive valuation of defaultable securities and the timing of resolution of uncertainty, Annals of Applied Probability 6, Duffie, D. and Singleton, K. (1999), Modeling term structures of defaultable bonds, Review of Financial Studies 12, Embrechts P. Rogers, C. and Yor, M. (1995), A proof of Dassios representation of the alpha-quantile of Brownian motion with drift, The Annals of Applied Probability 5(3), Foster, T. Koogler, P. and Vickrey, D. (1991), The valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 66, Fu, M. Madan, D. and Wang, T. (1997), Pricing Asian options: A comparison of analytical and Monte Carlo methods, Computational Finance 2, Geman, H. and Yor, M. (1993), Bessel processes, Asian options and perpetuities, Mathematical Finance 3, Geman, H. and Yor, M. (1996), Pricing and hedging double barrier options: A probabilistic approach, Mathematical Finance 6, Huddart, S. (1994), Employee stock options, Journal of Accounting and Economics 18, Huddart, S. and Lang, M. (1996), Employee stock option exercises: An empirical analysis, Journal of Accounting and Economics, pp Hugonnier, J. (1998), The Feynman-Kac Formula and Pricing Occupation Time Derivatives, ESSEC working paper. Jarrow, R. Lando, D. and Turnbull, S. (1997), A Markov model for the term structure of credit risk spreads, Review of Financial Studies 1, Jarrow, R. and Turnbull, S. (1995), Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk, Journal of Finance, March, Jennergren, L. and Naslund, B. (1993), A comment on the valuation of executive stock options and the FASB proposal, The Accounting Review 68, Johnson, S. A. and Tian, Y. S. (1999), Indexed executive stock options, Journal of Financial Economics, forthcoming. Karatzas, I. and Shreve, S. (1992), Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New York. 20 23 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Lando, D. (1998), On Cox processes and credit risky securities, Review of Derivatives Research 2, Leland, H. E. (1994), Corporate debt value, bond covenants, and optimal capital structure, Journal of Finance 49, Leland, H. E. and Toft, K. B. (1996), Optimal capital structure, endogenous bankruptcy, and the term structure of credit spreads, Journal of Finance, July, Linetsky, V. (1998), Steps to the barrier, RISK, April, Linetsky, V. (1999), Step options, Mathematical Finance 9, Madan, D. and Unal, H. (1996), Pricing the risk of default, Review of Derivatives Research 2, Madan, D. and Unal, H. (1998), A two-factor hazard-rate model for pricing risky debt in a complex capital structure, Journal of Financial and Quantitative Analysis, forthcoming. Marcus, A. and Kulatilaka, N. (1994), Valuing employee stock options, Financial Analysts Journal 5, Margrabe, W. (1978), The value of an option to exchange one asset for another, Journal of Finance 33, Marquardt, C. (1999), The Cost of Employee Stock Option Grants: An Empirical Analysis, Working paper, New York University. Merton, R. C. (1973), Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4, Merton, R. C. (1974), On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates, Journal of Finance 29, Pechtl, A. (1998), Some Applications of Occupation Times of Brownian Motion with Drift in Mathematical Finance, Working paper, Deutsche Bank, Frankfurt. Pechtl, A. (1995), Classified information, in Over the Rainbow, Risk publications, pp Perman, M. and Wellner, J. (1996), On the distribution of Brownian areas, Annals of Applied Probability 6, Revuz, D. and Yor, M. (1999), Continuous Martingales and Brownian Motion, 3rd edn, Springer, Berlin. Rubinstein, M. (1995), On the accounting valuation of employee stock options, Journal of Derivatives, Rubinstein, M. and Reiner, E. (1991), Breaking down the barriers, RISK 4, Shimko, D. (199), Autonomously Exercised Options, Working paper, University of Southern California. The Valuation of Executive Stock Options in an Intensity-Based Framework This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Hvis du opplever problemer med å laste ned en fil, må du kontrollere om du har det riktige programmet for å se det først. I tilfelle av flere problemer, les IDEAS hjelpesiden. Vær oppmerksom på at disse filene ikke er på IDEAS-siden. Vær tålmodig da filene kan være store. Siden tilgangen til dette dokumentet er begrenset, kan det være lurt å se etter en annen versjon under Beslektet forskning (lenger nedenfor) eller søke etter en annen versjon av den. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Sitatene er hentet fra CitEc-prosjektet. abonner på sin RSS-feed for dette elementet. Dette elementet er ikke oppført på Wikipedia, på en leseliste eller blant de beste elementene på IDEAS. When requesting a correction, please mention this items handle: RePEc:oup:revfin:v:4:y:2000:i:3:p:211-230. Se generell informasjon om hvordan du retter materiale i RePEc. For technical questions regarding this item, or to correct its authors, title, abstract, bibliographic or download information, contact: (Oxford University Press) or (Christopher F. Baum) If you have authored this item and are not yet registered with RePEc, we encourage you to do it here. Dette gjør det mulig å koble profilen din til dette elementet. Det tillater deg også å akseptere potensielle sitater til dette elementet som vi er usikre på. Hvis referanser mangler helt, kan du legge til dem ved hjelp av dette skjemaet. Hvis de fulle referansene viser et element som er til stede i RePEc, men systemet ikke lenker til det, kan du hjelpe med dette skjemaet. Hvis du vet om manglende elementer som citerer denne, kan du hjelpe oss med å opprette disse linkene ved å legge til de relevante referansene på samme måte som ovenfor, for hvert referanseelement. Hvis du er en registrert forfatter av dette elementet, kan du også sjekke tittelfanen i profilen din, da det kan være noen henvisninger som venter på bekreftelse. Vær oppmerksom på at rettelser kan ta noen uker å filtrere gjennom de ulike RePEc-tjenestene. More services Follow series, journals, authors amp more New papers by email Subscribe to new additions to RePEc Author registration Public profiles for Economics researchers Various rankings of research in Economics amp related fields Who was a student of whom, using RePEc RePEc Biblio Curated articles amp papers on various economics topics Upload your paper to be listed on RePEc and IDEAS EconAcademics Blog aggregator for economics research Plagiarism Cases of plagiarism in Economics Job Market Papers RePEc working paper series dedicated to the job market Fantasy League Pretend you are at the helm of an economics department Services from the StL Fed Data, research, apps amp more from the St. Louis FedThe Valuation of Executive Stock Options in an Intensity-Based Framework This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of. This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Keywords: Brownian area early exercise executive stock options Feynman-Kac formula forfeiture Laplace transform occupation time point processes with random intensity Journal Article. 0 words. Subjects: Financial Law Financial Institutions and Services Financial Markets Full text: subscription required